Понятие массы является одним из самых главных понятий в физике. В отличие от понятий «длина», «площадь», «объём», «время», понятие «масса» всегда ассоциировалось с чем-то, что можно подержать в руках, что можно пощупать, взвесить, что можно куда-то закинуть и т.д. Первоначально люди начали измерять массу путём взвешивания, отсюда и появились ныне существующие единицы измерения: фунты, граммы, килограммы и т.д. Сам принцип взвешивания заключался в методе сравнения веса взвешиваемого тела с весом какого-нибудь эталона, например, литра воды. Позже Ньютон доказал, что само явление веса является следствием гравитационного притяжения физических тел. В 1687 он опубликовал свой грандиозный труд «Математические начала натуральной философии» (кратко – «Начала»). Формула выведенного им Закона Всемирного тяготения имеет вид:
«Сила взаимного гравитационного притяжения F двух тел массами М и m прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния R между ними».
В этом законе G – гравитационная постоянная, численное значение которой было вычислено лишь через 100 лет после смерти Ньютона. Зачем она нужна? Только для того, чтобы ответ получился в «ньютонах», т.е. в единицах измерения силы в системе СИ.
Как говорилось в введении, гравитационная постоянная является константой и если её выкинуть из формулы, смысл закона не изменится. Изменятся лишь единицы измерения. Для того, чтобы узнать, какими они будут, нам придется восстановить логическую цепочку вывода Ньютоном Закона Всемирного тяготения.
Уже почти четыреста лет никто из учёных не смог восстановить логической цепочки размышлений Ньютона. Известно лишь, что сам Ньютон по этому поводу сказал: «Мне помогли планеты, Луна и яблоко». Существует легенда, что упавшее яблоко ударило его по голове и он быстро сообразил, что и как. Это, конечно, далеко не так. А логическая цепочка вывода этого Закона всё-таки существует. Я не берусь утверждать, что Ньютон размышлял именно так, как сейчас будет описано, но, в любом случае, основной вариант только один и размышления Ньютона были где-то около него. Итак, как говорил сам Ньютон, начнём с планет. В нашем примере мы будем пользоваться единицами измерения системы СИ, Ньютон, конечно, использовал другие единицы измерения, но от этого суть дела не меняется.
В начале мы вспомним третий закон движения планет гениального немецкого астронома Иоганна Кеплера, который сформулировал его в 1619 году в своей книге "Гармония мира". Я не буду отвлекать внимание читателей витиеватой официальной формулировкой этого закона, тем более, что кто-то "умный" давно отменил астрономию как предмет в современной российской школе. Следствием этого закона является один простой, но крайне интересный факт.
Следствие третьего закона Кеплера. Любая планета, обращаясь вокруг Солнца, имеет два основных личных параметра. Первый – радиус орбиты, то есть её удаление от Солнца (строго говоря, это большая полуось эллипса траектории). Второй – период обращения, то есть время, за которое планета делает один полный оборот вокруг Солнца. У каждой планеты эти параметры строго индивидуальны и, естественно, друг с другом не совпадают. Однако, если скорость движения планеты возвести в квадрат, а затем полученный результат умножить на радиус её собственной орбиты, то для всех планет получится одна и та же величина. Для примера, данные по Земле и Венере приведены в таблице 1.
Ньютон хорошо знал все законы Кеплера и не мог не заметить эту закономерность. Факт действительно интересный, параметры у всех планет разные, а произведение квадрата скорости на радиус орбиты у всех планет одинаково! Здесь просматривается общая закономерность, которая должна иметь общую причину. А что общего у всех этих планет? Да только то, что они все вращаются вокруг одного и того же тела – Солнца. Значит эта величина (у нас она, как видно из таблицы - 1,3 * 1020 м3/сек2) является каким-то параметром Солнца. Это могла быть или сила, с которой Солнце притягивает планеты (ведь оно же на самом дел их притягивает, иначе они бы давно улетели прочь), или масса Солнца. Предположение о том, что это сила, отпадает, потому что не могут притягиваться с одной и той же силой к Солнцу планеты, находящиеся на различных от него расстояниях и имеющих различную массу. Остаётся только одно – эта величина является значением массы Солнца. Но массу люди измеряли в фунтах, килограммах и т.д. А здесь единица измерения метр в кубе, деленный на секунду в квадрате! Так сколько же этих самых метров кубических, деленных на секунду в квадрате в одном килограмме? Вот тут-то и столкнулся Ньютон с проблемой переходного коэффициента. Ньютон сам пытался экспериментально вычислить значение этого коэффициента, но уровень измерительной техники того времени не позволял этого сделать. Это мы сейчас знаем величину гравитационной постоянной и можем перевести 1,3 х 1020 м3/сек2 в килограммы. Для этого нужно всего лишь разделить эту величину на величину гравитационной постоянной: Точное значение гравитационной постоянной удалось узнать из опытов английского физика и химика Генри Кавендиша, которые он проводил в 1798 году. Оказалось, что 1кг = 6,67 * 10-11 м3/сек2 , следовательно, масса Солнца:
1,3 * 1020 м3/сек2 / 6,67 * 10-11 = 2 * 1030 кг
Откройте справочник по астрономии и вы увидите, что масса Солнца действительно 2 * 1030 кг. А что было делать Ньютону? Ничего, кроме как записать всё это в виде формулы, где этот самый коэффициент он обозначил буквой f.
(1) f * M солнца = V2 R
В этой формуле значения линейной скорости движения планеты по своей орбите V и её расстояние до Солнца R можно взять для любой планеты, ведь всё равно произведение V2R для всех планет будет одинаковым. Во времена Ньютона для всех открытых к тому времени планет эти парметры уже были вычислены с довольно большой точностью. То есть, для того, чтобы определить массу Солнца, необходимо знать лишь два параметра любой планеты: радиус её вращения и её линейную скорость движения по орбите.
Теперь вспомним ещё одну интересную формулу, которая уже была известна во времена Ньютона. Дело в том, что на тело, которое вращается по окружности, действует центробежная сила. Вы сами можете почувствовать эту силу, когда крутите над головой какой-нибудь груз, привязанный на верёвке. Эта сила направлена от центра вращения и если вы отпустите верёвку, то ваш груз улетит от вас по касательной к окружности вращения. Так вот, во времена Ньютона уже была известна формула центробежного ускорения, которое действует на тело при его движение по круговой орбите:
(2) а = V2/ R
Центробежное ускорение, действующее на тело, двигающееся по круговой траектории, равно частному от деления квадрата линейной скорости, с которой тело движется по своей орбите на радиус вращения.
В нашем примере верёвка является элементом, удерживающем груз на его траектории. Но планеты не привязаны к Солнцу за верёвку. А они не улетают. Естественно, на планету действует удерживающая сила. Это и есть сила тяготения, которая возникает между планетой и Солнцем. А как мы уже знаем, основная формула силы – это произведение массы тела на ускорение. Зная скорость планеты и радиус её орбиты вращения вокруг Солнца, мы можем вычислить значение центробежного ускорения, которое пытается оторвать планету от Солнца по формуле (2). Вычислив ускорение, мы можем вычислить силу, которая пытается оторвать планету от Солнца:
Центробежная сила = Масса планеты * V2/ R
Однако планета не улетает от Солнца, потому что её удерживает равная по величине сила гравитационного притяжения. Естественно, формула этой силы будет точно такая, как и у центробежной силы, ведь они равны (Рис 4).
Поэтому мы можем записать равенство:
Сила тяготения = Центробежная сила = Мпланеты * V2/ R
Вот мы и вывели Закон Всемирного тяготения. Для того, чтобы увидеть его в натуральном виде, нужно просто умножить числитель и знаменатель получившейся формулы на одну и ту же величину R . Теперь смотрим, что получилось.
(3) Сила тяготения = Мпланеты *V2 R/ R2
А сейчас вернёмся к формуле (1) и запишем в формуле (3) вместо V2 R то значение, которое получилось в формуле (1), т.е. f * M солнца. Вот вам и классическая формула Закона Всемирного тяготения для силы притяжения планеты и Солнца.
F = f* Mсолнца* Мпланеты /R2
Итак, вроде бы, всё решено. Ньютон на основе неоспоримых фактов вывел формулу притяжения двух тел, в качестве которых выступали Солнце и любая планета, которая вращается вокруг него. Что ещё надо? Оказалось, надо. Ньютон был крайне щепетилен при своих научных изысканиях. Известен факт, что во время спора с другим известным учёным – Гуком, который тоже претендовал на авторство Закона Всемирного тяготения, он в одном из своих писем написал: - «Одно дело выдвигать гипотезы, другое - их доказывать». Это говорит о том, что Ньютон доводил до сведения научной общественности только те выводы, в которых был полностью уверен. А в чём же он не был уверен в случае с этим законом? Ведь он же его уже вывел!
А не уверен он был в том, что этот закон един во всей природе. Да, Ньютон вывел закон притяжения планет к Солнцу. А по этому ли закону спутники планет притягиваются к самой планете? А по этому ли закону тела притягиваются к земле, создавая тот самый эффект, который мы называем весом? Здесь сложность заключалась в том, что в то время из всех спутников планет только для Луны были известны радиус её орбиты и скорость вращения вокруг Земли. Хотя Галилей тогда уже открыл несколько спутников Юпитера, вышеуказанные параметры для них ещё не были известны. Вот в этом и заключается роль Луны, о которой говорил Ньютон. Зная линейную скорость движения Луны по своей орбите и расстояние от Земли до Луны, можно было по формуле V2R (где V - скорость движения Луны по орбите, а R – её расстояние до Земли).вычислить массу Земли, хотя опять же только в единицах «пространство-время», то есть в размерности «длина в кубе/время в квадрате». И Ньютон, конечно же, вычислил это значение (оно равно 400 * 1012 м3/сек2 ), ибо оно давало ключ к разгадке тайны тяготения. Ведь зная эту величину, можно просто предположить, что у поверхности Земли летает ещё один спутник, для которого значение V2R будет таким же, как и для Луны. В этом случае величина R будет радиусом Земли (6400км), который в то время уже был известен и оставалось вычислить только скорость, с которой этот предполагаемый спутник должен был летать у поверхности Земли, т.е. решить простейшее уравнение:
V2 * 6400км = 400 * 1012 м3/сек2, откуда скорость V = 7,9 км/сек
В настоящее время эта скорость называется первой космической, именно с такой скоростью отрываются от земли искусственные спутники чтобы выйти на орбиту и не упасть обратно на Землю. Но тогда Ньютон и понятия не имел о космонавтике. Вычислив эту скорость, он потом просто высчитал ускорение, которое будет действовать на предполагаемый спутник у поверхности Земли по формуле (2), подставив в качестве R величину радиуса Земли. Значение этого ускорения получилась 9,8 м/сек2. Сейчас каждый школьник знает, что это ускорение свободного падения у поверхности Земли. А Ньютон, вычислив эту величину теоретически, должен был обязательно проверить справедливость своих предположений практически. Другими словами, ему просто нужно было замерить величину свободного падения у поверхности земли. И сделал он это, как вы уже поняли, с помощью яблока, которое бросал с определённой высоты на землю. Вот в чём заключалась роль яблока!
® Все права защищены. При использовании данных материалов ссылка на этот сайт или на книгу "Теория пространства" обязательна.